Los principios de la teoría de triángulos, paralelas, y ...

III.m Críticas al Quinto Postulado y sus consecuencias.

El Quinto postulado de Euclides es largo y complicado, es el menos intuitivo, incluso podemos llegar a pensar que quizá no sea un axioma, pues no es muy evidente.

Postulado 5.
Si una recta que corta a otras dos, forma con éstas ángulos internos del mismo lado, que sumados sean menores que dos ángulos rectos, las dos rectas si se prolongan indefinidamente, se cortarán del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

La redacción complicada del Quinto postulado dió pie a una controversia que duró más de 2000 años, durante este tiempo recibió el nombre del axioma de las paralelas.

Uno de los hechos que propiciaron el descubrimiento de las Geometrías No Euclidianas fue el concepto de paralelismo introducido por Euclides en su obra de los Elementos. Las proposiciones que van de la I.27 a la I.33, así como la I.17, el Quinto postulado y la definición de dos rectas paralelas, son el núcleo de la teoría de las paralelas en Los Elementos.

Desde la Antigüedad hasta los trabajos de
Gauss    Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
Bolyai   János Bolyai (1802-1860) y
  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)
muchos matemáticos opinaban que el Quinto postulado podía demostrarse y que no debía ser planteado como postulado.

Se propusieron demostraciones al también llamado Axioma de las Paralelas. Al proponerse demostraciones del Quinto postulado, también hubo críticas muy acertadas a esas "demostraciones. En general, se mostró que detrás de las mejores pruebas se escondía la aceptación de alguna forma del Quinto postulado.

Ahora se sabe que eso no es posible y que se pueden aceptar otros postulados en lugar de éste para desarrollar Geometrías No Euclidianas.

Si deseas estudiar con mayor profundidad sobre el surgimiento de estas geometrías puedes consultar los siguientes libros:

Barot, Michael
Un paseo a Hiperbolia
Serie: Matemáticas Aplicadas y su Enseñanza
Sociedad Matemática Mexicana (SMM) y Centro de Investigación en Matemáticas, A.C. (CIMAT), 2005.

Ramírez Galarza Ana Irene y Sienra Lorea Guillermo
Invitación a las geometrías no euclidianas.
Coordinación de Servicios Editoriales,
Facultad de Ciencias, UNAM.
1a. edición, 2000.

Si deseas saber más sobre las discusiones que tuvieron lugar al respecto, puedes consultar:
Bonola R.
Non Euclidian Geometry
A critical an historical study of its development. Dover Publications, Inc. New York.

El Capítulo I trata del trabajo de Euclides y de los primeros comentadores del Quinto postulado, se presentan los argumentos más importantes que dieron lo griegos, los árabes y los geómetras del Renacimiento en su intento de colocar la teoría de las paralelas sobre una base firme.

Actualmente existen formas más sencillas equivalentes al Quinto postulado:

Equivalencia 1. Postulado de Playfair. Por un punto exterior a una recta es posible trazar una y sólo una paralela a la recta dada.
Este axioma se le atribuye a

John Playfair (1748-1819).

Es la forma en que suele enseñarse el Quinto postulado en las escuelas de nivel básico.
Consulta en el apartado III.n, la relación de este postulado con el sistema de postulados de Hilbert.

Equivalencia 2. Suma de los ángulos interiores de un triángulo euclidiano (Saccheri). La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a dos rectos (180º).

Equivalencia 3. Triángulos semejantes no congruentes (Wallis). Es posible construir un triángulo con los mismo ángulos y lados distintos a los de un triángulo dado.

Wallis John Wallis (1616-1703)

Equivalencia 4. Existencia de rectas equidistantes. Es posible encontrar dos recta L y M tales que si desde cualquier punto de una de ellas trazamos el segmento perpendicular a la otra, todos los segmentos tiene la misma longitud.

En la demostración de la Equivalencia 2 se usa otro postulado no explícito utilizado por Euclides y debido a

Pasch Moritz Pasch (1843-1930)

Se trata del
Postulado de Pasch. Una recta que corte a un lado del triángulo pero que no pase por ninguno de sus vértices deberá cortar también al otro lado del triángulo.
Consulta en el apartado III.n, la relación de este postulado con el sistema de postulados de Hilbert.

Si deseas estudiar detalladamente las demostraciones de estas equivalencias al Quinto postulado, puedes consultar el Apéndice A del libro:
Ramírez Galarza Ana Irene
Sienra Lorea Guillermo
Invitación a las geometrías no euclidianas.
Coordinación de Servicios Editoriales,
Facultad de Ciencias, UNAM.
1a. edición, 2000.

Más información sobre el Quinto Postulado la puedes encontrar en el sitio:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/post5.html

Sobre la relación entre Los Elementos y los fundamentos de las matemáticas puedes consultarla en la conferencia de L. J. Hernández Paricio, 2000, "Sobre los principios fundamentales de la Geometría" en http://www.unirioja.es/cu/luhernan/Divul/CI/COI.html

Más sobre la historia de las geometrías no euclidianas en :
http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-1-geometria.pdf

OpenCourseWare. Universidad Politécnica de Madrid.
Introducción a la geometría no euclidiana
http://gea.gate.upm.es/geometria-y-topologia/geometria-de-ayer-y-hoy/contenidos/unidad4/unidad41.htm

Las matemáticas no han sido ajenas al planteamiento y replanteamiento de sus propias producciones (según las diferentes épocas históricas) que dieron origen a importantísimas revoluciones culturales; quizás la más trascendente, el nacimiento de las geometrías no euclidianas:
Cuando lo evidente deja de serlo
http://www.myriades1.com/vernotas.php?id=234&lang=es

Todas las fotos que aparecen aquí, fueron tomadas del sitio:
The MacTutor History of Mathematics archive
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html
perteneciente a la School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.